Три звезды массы \(m\) каждая сохраняют в своём движении конфигурацию
равностороннего треугольника со стороной \(L\). С какой угловой скоростью
вращается этот треугольник?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
По симметрии центр масс — центр треугольника, и каждая звезда бегает по
описанной окружности радиуса \(L/\sqrt3\). Осталось сложить две силы под углом
60° и приравнять сумму к \(m\omega^2 r\).
Две силы под углом 60° дают равнодействующую, направленную
к центру.
Радиус орбиты. Центр описанной окружности равностороннего треугольника
отстоит от вершины на
\[ \rho = \frac{L}{\sqrt3}. \]
Сила. На каждую звезду действуют две силы, по
\[ F = \frac{\gamma m^2}{L^2} \]
каждая, а угол между ними \(60^\circ\) (это угол треугольника). Их сумма
направлена к центру и равна
Проверка. Формула похожа на «спутниковую»
\(\omega^2 = \gamma M/R^3\) с \(M = 3m\) и \(R = L\): и правда, три звезды тянут
примерно как одна массы \(3m\) с расстояния порядка \(L\) ✓. Проверим и
размерность: \([\gamma m/L^3] = \text{м}^3\text{с}^{-2}/\text{м}^3 =
\text{с}^{-2}\) ✓. Наконец, симметрия: для всех трёх звёзд выкладка одна и та
же, значит конфигурация действительно может сохраняться ✓ — это знаменитое
«треугольное» решение задачи трёх тел, найденное Лагранжем.
Ответ
\( \omega = \sqrt{\dfrac{3\gamma m}{L^3}} \).