Задача 2.6.17первая космическая для Земли и Луны
Условие
Найдите первую космическую скорость для Земли и Луны, а также и периоды обращения по околоземной и окололунной орбитам.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
«Первая космическая» — это скорость на орбите, проходящей у самой поверхности.
Там сила тяжести целиком идёт на центростремительное ускорение, поэтому
достаточно знать \(g\) и радиус планеты.
Общие формулы. На орбите радиуса \(R\) у поверхности:
\[ mg = \frac{mv^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{gR},\qquad T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}. \]Земля \((g = 9{,}8\) м/с², \(R = 6{,}37\cdot10^{6}\) м\()\):
\[ v = \sqrt{9{,}8\cdot 6{,}37\cdot10^{6}} = \sqrt{6{,}24\cdot10^{7}} \approx 7{,}9\ \text{км/с}, \] \[ T = \frac{2\pi\cdot 6{,}37\cdot10^{6}}{7{,}9\cdot10^{3}} \approx 5{,}1\cdot10^{3}\ \text{с} \approx 84\ \text{мин}. \]Луна \((g_{\text{Л}} = 1{,}6\) м/с² из задачи 2.6.11, \(R = 1{,}7\cdot10^{6}\) м\()\):
\[ v = \sqrt{1{,}6\cdot 1{,}7\cdot10^{6}} = \sqrt{2{,}8\cdot10^{6}} \approx 1{,}7\ \text{км/с}, \] \[ T = \frac{2\pi\cdot 1{,}7\cdot10^{6}}{1{,}7\cdot10^{3}} \approx 6{,}3\cdot10^{3}\ \text{с} \approx 105\ \text{мин}. \]Проверка. Заметим красивое: период
\(T = 2\pi\sqrt{R/g}\) — это в точности формула периода математического маятника
длиной в радиус планеты ✓. И ещё: подставив \(g = \frac43\pi\gamma\rho R\),
получаем \(T = \sqrt{3\pi/(\gamma\rho)}\) — период
зависит только от плотности планеты. У Луны плотность меньше земной
(3,3 против 5,5 г/см³), поэтому её «околоповерхностный» период больше,
хотя сама она меньше ✓ — что мы и получили: 105 мин против 84. Реальный период
низкой околоземной орбиты (МКС, высота 400 км) — около 92 мин ✓, чуть больше
из-за высоты.
Ответ
Земля: \(v \approx 7{,}9\) км/с, \(T \approx 84\) мин.
Луна: \(v \approx 1{,}7\) км/с, \(T \approx 105\) мин.