Спутник массы \(m_0\) движется по круговой орбите радиуса \(R\) вокруг
планеты массы \(m\). Какой импульс нужно мгновенно сообщить спутнику, чтобы
плоскость его орбиты повернулась на угол \(\alpha\), а радиус не изменился?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Радиус остался прежним — значит и модуль скорости прежний. Меняется только
направление: вектор скорости поворачивается на \(\alpha\). Длина основания
равнобедренного треугольника с боковыми сторонами \(v\) и углом \(\alpha\) при
вершине равна \(2v\sin(\alpha/2)\).
Скорость только поворачивается: треугольник равнобедренный.
Скорость на орбите. Радиус не меняется, поэтому не меняется и модуль
скорости:
\[ \frac{\gamma m m_0}{R^2} = \frac{m_0 v^2}{R}
\quad\Longrightarrow\quad
v = \sqrt{\frac{\gamma m}{R}}. \]
Изменение скорости. Векторы \(\vec v_{\text{стар}}\) и
\(\vec v_{\text{нов}}\) равны по модулю и составляют угол \(\alpha\).
Равнобедренный треугольник с боковой стороной \(v\) имеет основание
\[ |\Delta \vec v| = 2v\sin\frac{\alpha}{2}. \]
Импульс.
\[ p = m_0|\Delta\vec v| = 2m_0\sqrt{\frac{\gamma m}{R}}\,\sin\frac{\alpha}{2}. \]
Проверка. При \(\alpha\to 0\) получаем
\(p \approx m_0 v\alpha\) ✓ — маленький поворот стоит мало. При
\(\alpha = 180^\circ\) (полёт «в обратную сторону» по той же орбите)
\(p = 2m_0v\) ✓ — надо погасить скорость и разогнаться заново. Для низкой
околоземной орбиты \(v \approx 7{,}9\) км/с, и поворот плоскости всего на
\(10^\circ\) требует \(\Delta v = 2\cdot 7{,}9\cdot\sin5^\circ \approx 1{,}4\)
км/с ✓ — вот почему смена наклонения орбиты в космонавтике считается очень
дорогим манёвром.
Ответ
\( p = 2m_0\sqrt{\dfrac{\gamma m}{R}}\,\sin\dfrac{\alpha}{2} \).