Задача 2.6.19двигатели держат корабль на орбите
Условие
Космический корабль движется по круговой орбите радиуса \(R\) вокруг Земли со скоростью \(v\), вдвое большей скорости свободного движения по той же орбите. Какую силу тяги развивают двигатели корабля, если его масса \(m\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Чтобы удержать корабль на окружности радиуса \(R\) при скорости \(v\), нужна
сила \(mv^2/R\). Тяготение даёт только часть — остальное обязаны дать
двигатели, причём тягой к Земле.
Сколько даёт тяготение. Свободная (орбитальная) скорость \(v_0\) определяется условием
\[ F_{\text{тяг}} = \frac{mv_0^2}{R}. \]По условию \(v = 2v_0\), то есть \(v_0 = v/2\), поэтому
\[ F_{\text{тяг}} = \frac{m(v/2)^2}{R} = \frac{mv^2}{4R}. \]Сколько нужно. При скорости \(v\) центростремительная сила должна быть \(mv^2/R\). Значит двигатели добавляют
\[ F = \frac{mv^2}{R} - \frac{mv^2}{4R} = \frac{3mv^2}{4R}. \]Проверка. Тяга направлена к центру Земли — то есть
корабль летит «боком», подпирая себя двигателями снизу ✓. Если бы он двигался
со свободной скоростью \((v = v_0)\), формула дала бы \(F = 0\) ✓. А если бы
скорость была равна нулю (висеть неподвижно), понадобилось бы \(F = mg\), то
есть вся сила тяжести ✓ — то же самое даёт общая формула
\(F = m(v^2 - v_0^2)/R\), в которой при \(v=0\) получается \(-mv_0^2/R = -mg\)
(знак минус — тяга «от Земли»).
Ответ
\( F = \dfrac{3mv^2}{4R} \), направлена к центру Земли.