Два одинаковых поезда массы 1000 т каждый движутся по экватору навстречу
друг другу со скоростями 30 м/с. На сколько отличаются силы, с которыми они
давят на рельсы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Поезд движется по окружности радиуса \(R\) вместе с Землёй, и его полная
скорость — это скорость точек экватора \(u\) плюс-минус собственная скорость
\(v\). Чем быстрее поезд, тем больше нужно центростремительной силы, тем меньше
остаётся на давление рельсов.
Один поезд идёт по вращению Земли, другой — против.
Сила реакции рельсов. Поезд движется по окружности радиуса \(R\) со
скоростью \(V\) (в системе, не вращающейся вместе с Землёй). Второй закон
Ньютона в проекции на радиус:
\[ \frac{\gamma M m}{R^2} - N = \frac{mV^2}{R}
\quad\Longrightarrow\quad
N = m\left(\frac{\gamma M}{R^2} - \frac{V^2}{R}\right). \]
Для поезда «на восток» \(V_1 = u+v\), для поезда «на запад»
\(V_2 = u-v\).
Тяжелее давит на рельсы поезд, идущий на запад, — он «медленнее»
относительно оси вращения.
Проверка. По третьему закону Ньютона на рельсы давят
те же силы \(N\) ✓. Оценим относительную величину: вес поезда
\(mg \approx 10^{7}\) Н, значит разность составляет \(9\cdot10^{3}/10^{7}
\approx 0{,}1\,\%\) — около тонны из тысячи ✓. Это реальный эффект Этвёша,
его действительно наблюдают при точных гравиметрических измерениях с
движущихся судов ✓. Заметим, что члены с \(\gamma M/R^2\) и с \(u^2\)
сократились: важна только «перекрёстная» часть \(2uv\) ✓.
Ответ
\( \Delta N = \dfrac{4muv}{R} \approx 9\cdot10^{3}\ \text{Н} \) (больше давит
поезд, идущий на запад).