а. Каков радиус орбиты спутника, лежащей в экваториальной плоскости, если тот всё время находится в зените над одной и той же точкой земной поверхности?
б. Опишите качественно трассу спутника, если при том же радиусе орбиты её плоскость образует угол \(60^\circ\) с плоскостью экватора. (Трассой спутника называется линия, соединяющая точки на Земле, из которых спутник виден в зените.)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Радиус геостационарной орбиты. Из \(\gamma M/R^2 = 4\pi^2R/T^2\):
\[ R = \left(\frac{\gamma M T^2}{4\pi^2}\right)^{\!1/3}. \]Здесь \(\gamma M = gR_{\text{З}}^2 = 9{,}8\cdot(6{,}37\cdot10^{6})^2 \approx 4{,}0\cdot10^{14}\), а \(T\) — звёздные сутки, 86 164 с \((T^2 \approx 7{,}4\cdot10^{9})\):
\[ R = \left(\frac{4{,}0\cdot10^{14}\cdot 7{,}4\cdot10^{9}}{39{,}5}\right)^{\!1/3} = \left(7{,}5\cdot10^{22}\right)^{1/3} \approx 4{,}2\cdot10^{7}\ \text{м} = 42\,000\ \text{км}. \]Это примерно \(6{,}6\) радиуса Земли; высота над поверхностью около \(36\,000\) км.
б. Трасса наклонённой орбиты. Период тот же — звёздные сутки, значит за одни сутки спутник делает ровно один оборот, и Земля тоже. Но орбита наклонена, поэтому:
— по широте спутник за сутки уходит на \(60^\circ\) к северу, потом возвращается и уходит на \(60^\circ\) к югу: угол наклона орбиты как раз и равен наибольшей широте, над которой спутник бывает в зените;
— по долготе он то забегает вперёд, то отстаёт. Дело в том, что вдоль экватора спутник движется со «своей» полной скоростью, а вблизи поворотных точек (на широте \(60^\circ\)) его движение по долготе замедляется. Земля же крутится равномерно, поэтому спутник поочерёдно оказывается то восточнее, то западнее среднего положения.
В итоге трасса — симметричная замкнутая «восьмёрка», вытянутая по широте от \(60^\circ\) с. ш. до \(60^\circ\) ю. ш., с точкой самопересечения на экваторе. Спутник проходит её целиком за одни сутки.