Задача 2.6.22когда можно писать mgh
Условие
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшого тела массы \(m\) с Землёй \(U = -\gamma Mm/r\), где \(M\) — масса Земли, \(r\) — расстояние от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии \(\Delta U\) при подъёме тела на высоту \(h\) с поверхности Земли. Какая относительная ошибка возникает при использовании приближённого выражения \(mgh\) вместо \(\Delta U\)? Ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g\), радиус Земли \(R\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
\(\Delta U\) считается в лоб, а \(mgh\) — это то же самое, но с силой,
«замороженной» на поверхностном значении. Разница окажется совсем простой:
\(h/R\).
Точное приращение.
\[ \Delta U = -\frac{\gamma Mm}{R+h} + \frac{\gamma Mm}{R} = \gamma Mm\left(\frac1R - \frac1{R+h}\right) = \frac{\gamma Mm\,h}{R(R+h)}. \]Приближение. Так как \(g = \gamma M/R^2\), имеем \(\gamma Mm = mgR^2\), и
\[ \Delta U = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}, \qquad\text{тогда как}\qquad mgh. \]Относительная ошибка:
\[ \frac{mgh - \Delta U}{\Delta U} = \frac{mgh}{\Delta U} - 1 = \left(1+\frac hR\right) - 1 = \frac hR. \]Проверка. Формула честная и очень удобная: подъём на
Эверест \((h = 8{,}8\) км\()\) даёт ошибку \(8{,}8/6370 \approx 0{,}14\,\%\) ✓ —
поэтому в школьных задачах \(mgh\) работает безупречно. А для орбиты МКС
\((h = 400\) км\()\) ошибка уже \(6\,\%\), для геостационара \((h = 36\,000\)
км\()\) — \(570\,\%\) ✓, там \(mgh\) бессмысленно. Проверим и предел
\(h\to\infty\): \(\Delta U \to \gamma Mm/R = mgR\) ✓ — это работа, которую надо
совершить, чтобы навсегда унести тело с Земли; отсюда, кстати, сразу вторая
космическая \(v = \sqrt{2gR}\) (задача 2.6.26).
Ответ
\( \Delta U = \dfrac{\gamma Mmh}{R(R+h)} = \dfrac{mgh}{1+h/R} \);
относительная ошибка \( \dfrac{mgh-\Delta U}{\Delta U} = \dfrac hR \).