Тело запустили вдоль экватора с востока на запад с такой скоростью, что очень далеко от Земли его скорость стала равной нулю. Какую скорость относительно Земли будет иметь вдали от неё тело, запущенное с той же начальной скоростью вдоль экватора, но с запада на восток?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. \(w\) — скорость запуска относительно Земли (одна и та же в обоих случаях), \(u \approx 465\) м/с — скорость точек экватора, \(v_{\text{II}} = \sqrt{2gR} \approx 11{,}2\) км/с — вторая космическая.
Первый запуск (на запад, против вращения). В неподвижной системе отсчёта скорость тела равна \(w - u\). По условию оно еле-еле уходит от Земли, то есть его скорость на бесконечности нулевая:
\[ w - u = v_{\text{II}} \quad\Longrightarrow\quad w = v_{\text{II}} + u. \]Второй запуск (на восток, по вращению). Теперь скорость в неподвижной системе
\[ v_0 = w + u = v_{\text{II}} + 2u. \]Закон сохранения энергии (потенциальная энергия на старте одна и та же, а \(v_{\text{II}}\) как раз и определена как скорость, которой ровно хватает, чтобы уйти):
\[ v_\infty^2 = v_0^2 - v_{\text{II}}^2 = (v_{\text{II}} + 2u)^2 - v_{\text{II}}^2 = 4u\,v_{\text{II}} + 4u^2 = 4u\,(v_{\text{II}} + u). \]Числа: \(4\cdot 465\cdot(11\,200 + 465) = 1860\cdot 11\,665 \approx 2{,}17\cdot10^{7}\) м²/с², откуда
\[ v_\infty \approx \sqrt{2{,}17\cdot10^{7}}\ \text{м/с} \approx 4{,}7\cdot10^{3}\ \text{м/с}. \]