Задача 2.6.24вторая космическая по метеориту
Условие
Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет скорость \(v_0\). Падая на планету, он приобретает вблизи её поверхности скорость \(v\). При какой наименьшей скорости вблизи поверхности этой планеты космический корабль покинет её безвозвратно? (Такая скорость называется второй космической.)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Метеорит уже проделал ровно тот путь, который нас интересует, только в обратную
сторону. Значит вторая космическая — это в точности та добавка к квадрату
скорости, которую даёт падение с бесконечности.
Метеорит. Сохранение энергии (потенциальная энергия на бесконечности равна нулю):
\[ \frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{\gamma M}{R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2\gamma M}{R} = v^2 - v_0^2. \]Корабль. Вторая космическая — это скорость, при которой энергии ровно хватает, чтобы уйти на бесконечность с нулевой скоростью:
\[ \frac{u^2}{2} = \frac{\gamma M}{R} \quad\Longrightarrow\quad u = \sqrt{\frac{2\gamma M}{R}} = \sqrt{v^2 - v_0^2}. \]Проверка. Ни \(\gamma\), ни \(M\), ни \(R\) знать не
нужно — метеорит «измерил» их за нас ✓. Если метеорит прилетел практически без
скорости \((v_0 \to 0)\), то \(u = v\) ✓: он падал ровно со второй космической.
А если \(v_0\) уже велика, то \(v \approx v_0\) и \(u\) мало ✓ — планета почти
не притягивает. Обязательно \(v > v_0\) ✓: падая, метеорит разгоняется.
Ответ
\( u = \sqrt{v^2 - v_0^2} \).