Задача 2.6.25на полпроцента больше — и что?
Условие
На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую вторую космическую скорость на 0,5 %. Во сколько раз скорость тела вдали от планеты будет меньше второй космической скорости?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Складываются не скорости, а их квадраты. Маленькая добавка к скорости даёт
вдвое большую относительную добавку к квадрату — но всё равно очень маленькую,
и корень из неё оказывается около 10 %.
Пусть \(v_{\text{II}}\) — вторая космическая, \(v = 1{,}005\,v_{\text{II}}\). Сохранение энергии:
\[ v_\infty^2 = v^2 - v_{\text{II}}^2 = v_{\text{II}}^2\left(1{,}005^2 - 1\right) = v_{\text{II}}^2\cdot 0{,}010025. \]Отсюда
\[ \frac{v_\infty}{v_{\text{II}}} = \sqrt{0{,}010025} \approx 0{,}1, \]то есть скорость вдали примерно в 10 раз меньше второй космической.
Проверка. Полезная прикидка «в уме»: если превышение
составляет долю \(\varepsilon\), то \(v^2 - v_{\text{II}}^2 \approx
2\varepsilon\,v_{\text{II}}^2\), и \(v_\infty \approx v_{\text{II}}\sqrt{2\varepsilon}\).
При \(\varepsilon = 0{,}005\): \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\) ✓. Для Земли это
\(11{,}2\cdot0{,}1 \approx 1{,}1\) км/с — то есть «еле-еле улетевшее» тело
оказывается вдали от Земли всё же с ощутимой скоростью ✓. Тот же механизм
работал в задаче 2.6.23.
Ответ
Примерно в 10 раз.