Задача 2.6.26вторая космическая: Земля и Луна
Условие
Найдите вторую космическую скорость для Земли и Луны. Вращением планет вокруг собственной оси пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Кинетической энергии должно хватить ровно на то, чтобы «расплатиться» по
потенциальной яме глубиной \(\gamma Mm/R = mgR\).
Условие ухода на бесконечность с нулевой скоростью:
\[ \frac{mv^2}{2} = \frac{\gamma Mm}{R} = mgR \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2gR} = \sqrt2\;v_{\text{I}}. \]Земля: \(v = \sqrt{2\cdot9{,}8\cdot6{,}37\cdot10^{6}} = \sqrt{1{,}25\cdot10^{8}} \approx 11{,}2\) км/с.
Луна \((g_{\text{Л}} = 1{,}6\) м/с², \(R = 1{,}74\cdot10^{6}\) м\()\): \(v = \sqrt{2\cdot1{,}6\cdot1{,}74\cdot10^{6}} = \sqrt{5{,}6\cdot10^{6}} \approx 2{,}4\) км/с.
Проверка. Обе скорости ровно в \(\sqrt2\) раза больше
первых космических из задачи 2.6.17 \((7{,}9\) и \(1{,}7\) км/с\()\) ✓.
Лунная \(2{,}4\) км/с — это меньше средней скорости молекул водорода при
дневных температурах, поэтому Луна и не смогла удержать атмосферу ✓, а Земля
с её \(11{,}2\) км/с удержала всё, кроме водорода и гелия.
Ответ
Земля \( \approx 11{,}2 \) км/с, Луна \( \approx 2{,}4 \) км/с.