Задача 2.6.27добавка к скорости спутника
Условие
Спутник движется со скоростью \(v\) по круговой орбите вокруг Земли. Какую наименьшую добавочную скорость надо сообщить спутнику, чтобы он мог безвозвратно уйти от Земли?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
На любой орбите скорость ухода ровно в \(\sqrt2\) раза больше круговой. Дешевле
всего добавлять скорость вдоль движения — тогда добавка равна просто
разности модулей.
Круговая скорость на радиусе \(R\): \(\dfrac{mv^2}{R} = \dfrac{\gamma Mm}{R^2}\), то есть \(v^2 = \dfrac{\gamma M}{R}\).
Скорость ухода на том же радиусе: \(\dfrac{mv_{\text{ух}}^2}{2} = \dfrac{\gamma Mm}{R}\), то есть
\[ v_{\text{ух}}^2 = \frac{2\gamma M}{R} = 2v^2,\qquad v_{\text{ух}} = \sqrt2\,v. \]Добавка. Если новую скорость направить туда же, куда и старую, достаточно
\[ \Delta v = v_{\text{ух}} - v = (\sqrt2 - 1)\,v \approx 0{,}41\,v. \]Любое другое направление потребовало бы большей добавки: длина стороны треугольника со сторонами \(v\) и \(\sqrt2 v\) минимальна, когда векторы коллинеарны.
Проверка. Для низкой околоземной орбиты
\(v = 7{,}9\) км/с, \(\Delta v = 0{,}41\cdot 7{,}9 \approx 3{,}3\) км/с ✓, и
\(7{,}9 + 3{,}3 = 11{,}2\) км/с — вторая космическая ✓. Соотношение
\(v_{\text{ух}} = \sqrt2 v\) справедливо на любом радиусе ✓, поэтому улетать
выгоднее с высокой орбиты — там сама \(v\) меньше.
Ответ
\( \Delta v = (\sqrt2 - 1)\,v \approx 0{,}41\,v \), по направлению движения.