Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии от Луны его скорость относительно неё была нулевая. На какой высоте нужно включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку \((5g)\), чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны около 1700 км, ускорение свободного падения на её поверхности в 6 раз меньше, чем на поверхности Земли.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость перед торможением. Корабль падал «с бесконечности», поэтому на расстоянии \(R+h\) от центра Луны
\[ \frac{v_h^2}{2} = \frac{\gamma M}{R+h}. \]Участок торможения. От высоты \(h\) до поверхности. Кинетическая энергия падает от \(mv_h^2/2\) до нуля; работают тяготение и двигатель (тяга \(5g\,m\) направлена вверх, а корабль идёт вниз, так что её работа отрицательна):
\[ 0 - \frac{mv_h^2}{2} = \underbrace{\left(\frac{\gamma Mm}{R} - \frac{\gamma Mm}{R+h}\right)}_{\text{тяготение}} \;-\; 5gm\,h. \]Подставим \(\dfrac{mv_h^2}{2} = \dfrac{\gamma Mm}{R+h}\) — и члены с \(R+h\) сократятся:
\[ -\frac{\gamma Mm}{R+h} = \frac{\gamma Mm}{R} - \frac{\gamma Mm}{R+h} - 5gmh \quad\Longrightarrow\quad 5gh = \frac{\gamma M}{R} = g_{\text{Л}}R. \]Ответ в числах. Так как \(g_{\text{Л}} = g/6\),
\[ h = \frac{g_{\text{Л}}R}{5g} = \frac{R}{30} = \frac{1700\ \text{км}}{30} \approx 57\ \text{км}. \]