Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера

Савченко, задача 2.6.29

Задача 2.6.29разлетится ли облако

Условие

Скорость пылинок однородного шарового облака направлена радиально и пропорциональна расстоянию до центра: \(v = Hr\); это относится к начальному моменту. При какой наибольшей начальной плотности облако будет неограниченно расширяться? (Для тела внутри однородной сферической оболочки суммарная гравитационная сила со стороны оболочки нулевая.)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Подсказка в скобках — ключевая: на пылинку, находящуюся на расстоянии \(r\) от центра, действует только вещество внутри сферы радиуса \(r\). Значит для неё всё выглядит как обычный «улёт с планеты» массы \(M(r)\).

Для пылинки на радиусе \(r\) «работает» только шар радиуса \(r\).

Что притягивает пылинку. Внешние слои (сферические оболочки радиусов больше \(r\)) не действуют вовсе, а всё вещество внутри тянет так, будто собрано в центре:

\[ M(r) = \frac43\pi r^3\rho. \]

Условие улёта. Пылинка уйдёт бесконечно далеко, если её кинетической энергии хватает на выход из ямы:

\[ \frac{v^2}{2} \ge \frac{\gamma M(r)}{r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{H^2r^2}{2} \ge \frac{\gamma}{r}\cdot\frac43\pi r^3\rho = \frac43\pi\gamma\rho\,r^2. \]

Радиус сократился — и это главное: условие одно и то же для всех пылинок сразу:

\[ \frac{H^2}{2} \ge \frac43\pi\gamma\rho \quad\Longrightarrow\quad \rho \le \rho_{\text{макс}} = \frac{3H^2}{8\pi\gamma}. \]

Проверка. То, что \(r\) выпало, не случайность: при таком законе скоростей облако расширяется подобно самому себе, и все его слои ведут себя одинаково ✓ — иначе внутренние слои догнали бы внешние. Это в точности космологическая картина расширяющейся Вселенной: \(H\) — постоянная Хаббла, а \(\rho_{\text{макс}} = 3H^2/(8\pi\gamma)\) называется критической плотностью ✓. Числа: при \(H \approx 2{,}2\cdot10^{-18}\) с⁻¹ получаем \(\rho_{\text{кр}} \approx 9\cdot10^{-27}\) кг/м³ — около пяти атомов водорода на кубометр ✓.

Ответ \( \rho_{\text{макс}} = \dfrac{3H^2}{8\pi\gamma} \).

Следующая задача 2.6.30 →