Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера

Савченко, задача 2.6.30

Задача 2.6.30★ старт из центра астероида

Условие

Какую скорость нужно сообщить телу небольшой массы в центре астероида массы \(m\) и радиуса \(R\), чтобы оно через радиальную шахту ушло от астероида бесконечно далеко? Астероид можно считать однородным.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Путь делится на два участка: изнутри до поверхности и от поверхности до бесконечности. Работу на первом участке легко взять как площадь под прямой — ведь внутри однородного шара \(g\) растёт линейно.

Работа на единицу массы — площадь под графиком \(g(r)\): внутри треугольник, снаружи «хвост».

Поле внутри шара. На глубине, на расстоянии \(r\) от центра, притягивает только шар радиуса \(r\):

\[ g(r) = \frac{\gamma M(r)}{r^2} = \frac{\gamma}{r^2}\cdot m\frac{r^3}{R^3} = \frac{\gamma m}{R^3}\,r. \]

То есть внутри \(g\) растёт линейно, от \(0\) в центре до \(\gamma m/R^2\) на поверхности.

Работа на первом участке (на единицу массы) — площадь треугольника под прямой:

\[ A_1 = \frac12\cdot R\cdot\frac{\gamma m}{R^2} = \frac{\gamma m}{2R}. \]

Работа на втором участке — это привычная «глубина ямы» снаружи:

\[ A_2 = \frac{\gamma m}{R}. \]

Итого. Кинетической энергии на единицу массы должно хватить на обе части:

\[ \frac{v^2}{2} = A_1 + A_2 = \frac{\gamma m}{2R} + \frac{\gamma m}{R} = \frac{3\gamma m}{2R} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{3\gamma m}{R}}. \]

Проверка. Сравним с обычной второй космической \(\sqrt{2\gamma m/R}\): из центра надо стартовать в \(\sqrt{3/2} \approx 1{,}22\) раза быстрее ✓ — логично, ведь надо ещё выбраться из шахты. Половина «лишнего» — ровно \(A_1 = A_2/2\), то есть треугольник вдвое меньше «хвоста» ✓, что видно и на рисунке. Проверка формулы для \(g\) на границе: при \(r = R\) она даёт \(\gamma m/R^2\) ✓ — сшивается с внешним законом.

Ответ \( v = \sqrt{\dfrac{3\gamma m}{R}} \).

Следующая задача 2.6.31 →