Задача 2.6.31уйти от Солнца с земной орбиты
Условие
Космический аппарат вдалеке от Земли находится на том же расстоянии от Солнца, что и Земля. При какой минимальной его скорости он покинет Солнечную систему?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Земля уже не при чём — аппарат «вдалеке» от неё. Осталась только солнечная
яма, а скорость ухода из неё в \(\sqrt2\) раза больше круговой (задача 2.6.27),
то есть больше орбитальной скорости Земли.
Скорость ухода на расстоянии \(r\) от Солнца:
\[ \frac{v^2}{2} = \frac{\gamma M_{\odot}}{r},\qquad v = \sqrt{\frac{2\gamma M_{\odot}}{r}} = \sqrt2\,v_{\text{З}}, \]где \(v_{\text{З}} = \sqrt{\gamma M_{\odot}/r} \approx 30\) км/с — орбитальная скорость Земли. Значит
\[ v \approx \sqrt2\cdot 30 \approx 42\ \text{км/с}. \]Проверка. Скорость \(v_{\text{З}}\) проверяется прямо:
\(2\pi r/T = 2\pi\cdot1{,}5\cdot10^{11}/3{,}14\cdot10^{7} \approx 30\) км/с ✓.
Аппарату при этом достаточно добавить к своей уже имеющейся орбитальной
скорости \((\sqrt2-1)\cdot30 \approx 12{,}4\) км/с ✓ — именно эта величина
понадобится в следующей задаче.
Ответ
\( v = \sqrt2\,v_{\text{З}} \approx 42\ \text{км/с} \) (относительно Солнца).