Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающая его выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Найдите её, если известно, что скорость орбитального движения Земли 30 км/с.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шаг 1: сколько нужно «на выходе» из земной окрестности. Из задачи 2.6.31 аппарат должен иметь относительно Солнца \(\sqrt2\cdot30 \approx 42{,}4\) км/с. Земля уже несёт его со скоростью \(30\) км/с, поэтому относительно Земли (уже вдали от неё) достаточно
\[ v_\infty = 42{,}4 - 30 = 12{,}4\ \text{км/с}, \]если стартовать в направлении орбитального движения Земли — тогда скорости просто складываются, и это самый дешёвый вариант.
Шаг 2: выбраться из земной ямы, сохранив \(v_\infty\). Закон сохранения энергии у Земли:
\[ \frac{v^2}{2} - \frac{\gamma M_{\text{З}}}{R_{\text{З}}} = \frac{v_\infty^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = v_\infty^2 + v_{\text{II}}^2, \]где \(v_{\text{II}} = 11{,}2\) км/с — вторая космическая.
\[ v = \sqrt{12{,}4^2 + 11{,}2^2} = \sqrt{154 + 125} = \sqrt{279} \approx 16{,}7\ \text{км/с}. \]