В фантастическом рассказе описывается, как из-за небольшой ошибки в выборе начальной скорости при старте с поверхности Земли межпланетный корабль падает на Солнце. При какой наименьшей скорости на поверхности Земли это возможно?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Какая скорость нужна у Земли (относительно Солнца). Пусть корабль пойдёт по вытянутому эллипсу с афелием \(r_{\text{а}} = r\) (орбита Земли) и перигелием \(r_{\text{п}} = R_{\odot}\) (поверхность Солнца). Для эллипса выполняются два закона сохранения:
\[ v_{\text{а}}r_{\text{а}} = v_{\text{п}}r_{\text{п}},\qquad \frac{v_{\text{а}}^2}{2} - \frac{\gamma M_{\odot}}{r_{\text{а}}} = \frac{v_{\text{п}}^2}{2} - \frac{\gamma M_{\odot}}{r_{\text{п}}}. \]Подставим \(v_{\text{п}} = v_{\text{а}}r_{\text{а}}/r_{\text{п}}\) во второе уравнение:
\[ \frac{v_{\text{а}}^2}{2}\left(\frac{r_{\text{а}}^2}{r_{\text{п}}^2}-1\right) = \gamma M_{\odot}\left(\frac1{r_{\text{п}}}-\frac1{r_{\text{а}}}\right) = \gamma M_{\odot}\,\frac{r_{\text{а}}-r_{\text{п}}}{r_{\text{а}}r_{\text{п}}}. \]Слева \(\dfrac{v_{\text{а}}^2}{2}\cdot \dfrac{(r_{\text{а}}-r_{\text{п}})(r_{\text{а}}+r_{\text{п}})}{r_{\text{п}}^2}\); сокращая на \((r_{\text{а}}-r_{\text{п}})\), получаем
\[ v_{\text{а}}^2 = \frac{2\gamma M_{\odot}\,r_{\text{п}}} {r_{\text{а}}(r_{\text{а}}+r_{\text{п}})} \approx \frac{2\gamma M_{\odot}R_{\odot}}{r^2} = 2v_{\text{З}}^2\,\frac{R_{\odot}}{r}, \]так как \(R_{\odot} \ll r\) и \(\gamma M_{\odot}/r = v_{\text{З}}^2\). С \(R_{\odot}/r = 7\cdot10^{8}/1{,}5\cdot10^{11} = 4{,}7\cdot10^{-3}\):
\[ v_{\text{а}} = 30\,\sqrt{2\cdot 4{,}7\cdot10^{-3}} \approx 2{,}9\ \text{км/с}. \]Сколько это относительно Земли. Скорость направлена туда же, куда и движется Земля, поэтому вдали от Земли корабль должен иметь
\[ v_\infty = 30 - 2{,}9 = 27{,}1\ \text{км/с} \](назад, против движения Земли).
Старт с поверхности.
\[ v = \sqrt{v_\infty^2 + v_{\text{II}}^2} = \sqrt{27{,}1^2 + 11{,}2^2} = \sqrt{734+125} = \sqrt{859} \approx 29\ \text{км/с}. \]