Задача 2.6.34U = −2K
Условие
Кинетическая энергия спутника на круговой орбите равна \(K\). Чему равна его потенциальная энергия?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Второй закон Ньютона для круговой орбиты сам связывает \(mv^2\) с
\(\gamma Mm/R\) — а это как раз удвоенная кинетическая и минус потенциальная
энергия.
Для круговой орбиты
\[ \frac{mv^2}{R} = \frac{\gamma Mm}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad mv^2 = \frac{\gamma Mm}{R}. \]Слева \(2K\), справа \(-U\), значит
\[ U = -2K. \]Проверка. Полная энергия \(E = K + U = -K < 0\) ✓ —
спутник связан, как и должно быть. Отсюда полезное следствие: чтобы «улететь»,
надо добавить энергию \(K\), то есть удвоить кинетическую — а скорость
увеличить в \(\sqrt2\) раз ✓ (задача 2.6.27). И ещё одно, парадоксальное: если
спутник тормозится атмосферой и теряет энергию, \(E\) уменьшается, значит
\(K = -E\) растёт — спутник разгоняется ✓ (об этом задача 2.6.35).
Соотношение \(U = -2K\) — частный случай теоремы вириала.
Ответ
\( U = -2K \) (полная энергия \(E = -K\)).