Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность планеты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила сопротивления атмосферы толкает спутник вперёд, в направлении его полёта! Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спутника.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Качественно. На круговой орбите радиуса \(r\)
\[ K = \frac{\gamma Mm}{2r},\qquad U = -\frac{\gamma Mm}{r},\qquad E = K+U = -\frac{\gamma Mm}{2r} = -K. \]Сопротивление уменьшает \(E\). Но \(K = -E\), значит \(K\) при этом растёт. Радиус же уменьшается: \(E = -\gamma Mm/(2r)\) убывает как раз при уменьшении \(r\). Никакого противоречия: за один виток потенциальная энергия падает на \(|\Delta U| = 2|\Delta E|\), из них половина \(|\Delta E|\) уходит на нагрев атмосферы, а вторая половина — в кинетическую энергию спутника.
Количественно. Пусть сила сопротивления равна \(F\). За малое время \(\Delta t\) она отбирает энергию
\[ \Delta E = -F v\,\Delta t. \]С другой стороны \(E = -\gamma Mm/(2r)\), поэтому
\[ \Delta E = \frac{\gamma Mm}{2r^2}\,\Delta r \quad\Longrightarrow\quad \Delta r = -\frac{2Fv r^2}{\gamma Mm}\,\Delta t. \]Скорость на круговой орбите \(v^2 = \gamma M/r\), значит \(2v\,\Delta v = -\dfrac{\gamma M}{r^2}\,\Delta r\), откуда
\[ \Delta v = -\frac{\gamma M}{2vr^2}\,\Delta r = -\frac{\gamma M}{2vr^2}\left(-\frac{2Fvr^2}{\gamma Mm}\right)\Delta t = \frac{F}{m}\,\Delta t. \]Итак,
\[ \frac{\Delta v}{\Delta t} = +\frac{F}{m} \]— спутник ускоряется ровно так, как если бы сила сопротивления была приложена вперёд. Это и есть «парадокс».