В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, проведённый к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные площади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй закон Кеплера.) Какую площадь опишет за время \(t\) радиус-вектор, проведённый от Солнца к планете, если в начальный момент расстояние от неё до Солнца \(r\), скорость \(v\), а угол между скоростью планеты и радиус-вектором \(\alpha\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Площадь за малое время. За время \(\Delta t\) планета проходит почти по прямой отрезок \(v\,\Delta t\). Радиус-вектор заметает треугольник со сторонами \(r\) и \(v\,\Delta t\); угол между этими сторонами при планете — смежный с углом \(\alpha\), то есть равен \(180^\circ-\alpha\), но синус у него тот же самый. Поэтому
\[ \Delta S = \frac12\,r\cdot v\,\Delta t\cdot\sin\alpha. \]Скорость заметания площади поэтому постоянна:
\[ \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac12\,rv\sin\alpha. \]За время \(t\) (по условию задачи площади за равные времена равны, значит скорость заметания не меняется):
\[ S = \frac12\,r\,v\,t\,\sin\alpha. \]