Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера

Савченко, задача 2.6.37

Задача 2.6.37«Молния-1»: перигей и апогей

Условие

Спутник связи «Молния–1» имеет перигей над южным полушарием Земли на высоте около 500 км, а апогей — на высоте около 40 000 км над северным полушарием. Каково отношение угловых скоростей обращения этого спутника в перигее и апогее?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Второй закон Кеплера: \(rv\) в этих двух точках одинаково (там скорость перпендикулярна радиусу). А \(\omega = v/r\), значит отношение угловых скоростей — это квадрат отношения расстояний.

Вблизи Земли спутник проносится быстро, в апогее — еле ползёт.

Расстояния от центра Земли.

\[ r_{\text{п}} = 6370 + 500 = 6{,}87\cdot10^{3}\ \text{км},\qquad r_{\text{а}} = 6370 + 40\,000 = 46{,}4\cdot10^{3}\ \text{км}. \]

Закон площадей. В перигее и апогее скорость перпендикулярна радиус-вектору, поэтому

\[ v_{\text{п}}r_{\text{п}} = v_{\text{а}}r_{\text{а}}. \]

Угловые скорости. \(\omega = v/r\), значит

\[ \frac{\omega_{\text{п}}}{\omega_{\text{а}}} = \frac{v_{\text{п}}/r_{\text{п}}}{v_{\text{а}}/r_{\text{а}}} = \frac{v_{\text{п}}}{v_{\text{а}}}\cdot\frac{r_{\text{а}}}{r_{\text{п}}} = \left(\frac{r_{\text{а}}}{r_{\text{п}}}\right)^{\!2} = \left(\frac{46{,}4}{6{,}87}\right)^{\!2} = 6{,}75^2 \approx 45. \]

Проверка. Скорости отличаются «всего» в 6,75 раза, а угловые — в 45 ✓. Именно ради этого орбиту и выбрали: спутник почти всё время висит над северным полушарием, медленно проплывая по небу, и лишь короткий промежуток стремительно проскакивает перигей ✓. Период такой орбиты — половина суток, так что три спутника обеспечивали круглосуточную связь.

Ответ \( \dfrac{\omega_{\text{п}}}{\omega_{\text{а}}} = \left(\dfrac{r_{\text{а}}}{r_{\text{п}}}\right)^2 \approx 45 \).

Следующая задача 2.6.38 →