К планете радиуса \(R\) и массы \(M\) издалека движется со скоростью \(v\)
относительно неё космический зонд. При каком прицельном параметре \(\rho\) зонд
пролетит ближе всего к планете, не разбившись?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Самая близкая безопасная траектория — та, что касается поверхности. В
точке касания скорость перпендикулярна радиусу, значит там работает закон
площадей в простейшем виде, а энергия даёт саму скорость.
Предельная траектория задевает поверхность планеты по
касательной.
Закон площадей. Вдали от планеты скорость \(v\), а расстояние от линии
движения до центра равно \(\rho\); «плечо» скорости и есть \(\rho\). В точке
касания расстояние \(R\), а скорость \(u\) перпендикулярна радиусу. Значит
\[ \rho\,v = R\,u. \]
Закон сохранения энергии (на бесконечности потенциальная энергия
нулевая):
Проверка. Если тяготение выключить \((\gamma\to0)\),
получится \(\rho = R\) ✓ — прямая, задевающая шар. Наличие тяготения делает
«мишень» больше: планета как бы притягивает к себе пролетающие тела
(гравитационная фокусировка) ✓. Для медленных зондов \((v \to 0)\) имеем
\(\rho \approx \sqrt{2\gamma MR}/v \to \infty\) ✓: тихоходное тело притянется
почти с любого прицела. Полезная форма записи: \(\rho = R\sqrt{1 +
v_{\text{II}}^2/v^2}\), где \(v_{\text{II}}\) — вторая космическая для этой
планеты ✓.
Ответ
\( \rho = R\sqrt{1 + \dfrac{2\gamma M}{Rv^2}} \).