Задача 2.6.39★ от перигея к апогею
Условие
Скорость спутника в перигее равна \(v\) при расстоянии до центра Земли, равном \(r\). Какова скорость спутника в апогее? Каково расстояние от него до центра Земли в апогее?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Два закона сохранения — площадей и энергии — дают систему из двух уравнений с
двумя неизвестными \(V\) и \(R\). Она решается «в лоб», надо только не забыть
отбросить посторонний корень \(V = v\) (это тот же перигей).
Уравнения.
\[ vr = VR,\qquad \frac{v^2}{2} - \frac{\gamma M}{r} = \frac{V^2}{2} - \frac{\gamma M}{R}. \]Решение. Подставим \(R = vr/V\) во второе уравнение:
\[ \frac{v^2 - V^2}{2} = \frac{\gamma M}{r} - \frac{\gamma M V}{vr} = \frac{\gamma M}{r}\left(1 - \frac{V}{v}\right) = \frac{\gamma M}{rv}\,(v - V). \]Слева \(\frac{(v-V)(v+V)}{2}\). Сокращаем на \((v-V)\) — это законно, ведь нас интересует именно апогей, где \(V \ne v\):
\[ \frac{v+V}{2} = \frac{\gamma M}{rv} \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{2\gamma M}{rv} - v = v\left(\frac{2\gamma M}{rv^2} - 1\right). \]И тогда
\[ R = \frac{vr}{V} = \frac{r}{\dfrac{2\gamma M}{rv^2} - 1}. \]Проверка. Обозначим \(k = 2\gamma M/(rv^2)\) — это
отношение квадрата второй космической (на радиусе \(r\)) к \(v^2\). Тогда
\(V = v(k-1)\), \(R = r/(k-1)\). Если \(k = 2\), то есть
\(v^2 = \gamma M/r\) — круговая скорость, — получаем \(V = v\), \(R = r\) ✓:
орбита круговая, перигей и апогей совпадают. Если \(k \to 1\), то есть \(v\)
достигает второй космической, \(R \to \infty\) ✓ — спутник улетает. При
\(k < 1\) формула даёт отрицательные значения — апогея просто нет, орбита
незамкнута ✓. И условие «перигей» требует \(V < v\), то есть \(k < 2\) ✓.
Ответ
\( V = v\left(\dfrac{2\gamma M}{rv^2} - 1\right) \),
\( R = \dfrac{r}{\dfrac{2\gamma M}{rv^2} - 1} \).