Задача 2.6.40★ энергия для ухода с эллипса
Условие
Космический зонд массы \(m\) движется вокруг планеты массы \(M\) по орбите с наибольшим удалением \(r_{\text{а}}\) от центра планеты (в апоцентре) и наименьшим — \(r_{\text{п}}\) (в перицентре). Какую минимальную энергию нужно сообщить зонду, чтобы он покинул планету?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нужно поднять полную энергию до нуля. Значит надо просто вычислить полную
энергию эллиптической орбиты — а она, как выяснится, зависит только от суммы
\(r_{\text{а}} + r_{\text{п}}\).
Скорость в перицентре. Как и в предыдущей задаче,
\[ v_{\text{п}}r_{\text{п}} = v_{\text{а}}r_{\text{а}},\qquad \frac{v_{\text{п}}^2}{2} - \frac{\gamma M}{r_{\text{п}}} = \frac{v_{\text{а}}^2}{2} - \frac{\gamma M}{r_{\text{а}}}. \]Подставляя \(v_{\text{а}} = v_{\text{п}}r_{\text{п}}/r_{\text{а}}\):
\[ \frac{v_{\text{п}}^2}{2}\left(1 - \frac{r_{\text{п}}^2}{r_{\text{а}}^2}\right) = \gamma M\,\frac{r_{\text{а}}-r_{\text{п}}}{r_{\text{п}}r_{\text{а}}}, \]слева \(\dfrac{v_{\text{п}}^2}{2}\cdot \dfrac{(r_{\text{а}}-r_{\text{п}})(r_{\text{а}}+r_{\text{п}})}{r_{\text{а}}^2}\), и после сокращения на \((r_{\text{а}}-r_{\text{п}})\):
\[ v_{\text{п}}^2 = \frac{2\gamma M\,r_{\text{а}}} {r_{\text{п}}(r_{\text{а}}+r_{\text{п}})}. \]Полная энергия.
\[ E = \frac{mv_{\text{п}}^2}{2} - \frac{\gamma Mm}{r_{\text{п}}} = \frac{\gamma Mm\,r_{\text{а}}}{r_{\text{п}}(r_{\text{а}}+r_{\text{п}})} - \frac{\gamma Mm}{r_{\text{п}}} = \frac{\gamma Mm}{r_{\text{п}}} \cdot\frac{r_{\text{а}} - (r_{\text{а}}+r_{\text{п}})}{r_{\text{а}}+r_{\text{п}}} = -\frac{\gamma Mm}{r_{\text{а}}+r_{\text{п}}}. \]Сколько добавить. Чтобы уйти, нужно \(E \ge 0\), значит минимальная добавка
\[ \Delta E = \frac{\gamma Mm}{r_{\text{а}}+r_{\text{п}}}. \]Проверка. Для круговой орбиты
\(r_{\text{а}} = r_{\text{п}} = R\) получаем \(\Delta E = \gamma Mm/(2R) = K\) ✓
— ровно кинетическая энергия, как и в задаче 2.6.34. Заметим главное:
\(E\) зависит только от суммы \(r_{\text{а}}+r_{\text{п}} = 2a\), то есть от
большой оси, и совсем не зависит от вытянутости орбиты ✓. Поэтому «стоимость
улёта» одинакова для круговой орбиты радиуса \(a\) и для сколь угодно
вытянутого эллипса с той же большой осью.
Ответ
\( \Delta E = \dfrac{\gamma Mm}{r_{\text{а}}+r_{\text{п}}} \).