С орбитальной станции, движущейся со скоростью \(u\) по круговой орбите вокруг планеты, запускают два зонда. Начальная скорость зондов относительно планеты равна \(v\) \((\sqrt2\,u > v > u)\). Один зонд движется по направлению радиуса планеты; начальная скорость другого зонда перпендикулярна её радиусу. Найдите отношение максимально возможных расстояний от зондов до центра планеты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что известно про станцию. Круговая орбита радиуса \(R\):
\[ \frac{u^2}{R} = \frac{\gamma M}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma M = u^2R. \]Первый зонд (по радиусу). Он летит по прямой, и в самой дальней точке \(R_1\) его скорость равна нулю:
\[ \frac{v^2}{2} - \frac{\gamma M}{R} = 0 - \frac{\gamma M}{R_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2}{2} - u^2 = -\frac{u^2R}{R_1}, \] \[ \frac{R}{R_1} = 1 - \frac{v^2}{2u^2} \quad\Longrightarrow\quad R_1 = \frac{2u^2R}{2u^2 - v^2}. \](Условие \(v < \sqrt2\,u\) как раз и означает, что зонд не улетает совсем.)
Второй зонд (поперёк радиуса). Стартовая точка — перицентр или апоцентр его орбиты (скорость перпендикулярна радиусу), а раз \(v > u\), это перицентр. В дальней точке \(R_2\) скорость \(V_2\) тоже перпендикулярна радиусу, поэтому
\[ vR = V_2R_2,\qquad \frac{v^2}{2} - \frac{u^2R}{R} = \frac{V_2^2}{2} - \frac{u^2R}{R_2}. \]Обозначим \(x = R/R_2\); тогда \(V_2 = vx\), и
\[ \frac{v^2}{2} - u^2 = \frac{v^2x^2}{2} - u^2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2}{2}(x^2-1) - u^2(x-1) = 0. \]Корень \(x = 1\) — это сама точка старта; делим на \((x-1)\):
\[ \frac{v^2}{2}(x+1) = u^2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2u^2}{v^2} - 1 = \frac{2u^2-v^2}{v^2},\qquad R_2 = \frac{v^2R}{2u^2-v^2}. \]Отношение.
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{2u^2R/(2u^2-v^2)}{v^2R/(2u^2-v^2)} = \frac{2u^2}{v^2}. \]