Плоскость орбиты спутника разбита на секторы с общей вершиной в центре
планеты массы \(M\) и одинаковыми малыми углами раствора \(d\varphi\). Найдите
изменение скорости спутника при прохождении каждого сектора, если его скорость
в перицентре \(v_{\text{п}}\), а расстояние от спутника до центра планеты в
перицентре \(r_{\text{п}}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Ускорение убывает как \(1/r^2\), зато и время прохождения сектора растёт как
\(r^2\) (закон площадей!). Эти два \(r^2\) сокращаются — и приращение скорости
оказывается одним и тем же для всех секторов.
В каждом секторе скорость получает одну и ту же добавку,
направленную к планете.
Время прохождения сектора. По закону площадей скорость заметания
площади постоянна и равна (задача 2.6.36)
Расстояние \(r\) выпало! Вектор \(d\vec v\) направлен к центру планеты, то
есть вдоль биссектрисы сектора.
Проверка. Получилось замечательное следствие: при
повороте радиус-вектора на равные углы вектор скорости получает равные по
модулю добавки, повёрнутые на те же самые углы. Значит конец вектора
скорости обходит окружность — эта окружность называется годографом
скорости ✓. Её радиус \(\gamma M/(v_{\text{п}}r_{\text{п}})\): при полном
обороте \((d\varphi\) в сумме \(2\pi)\) конец вектора описывает окружность
длины \(2\pi\gamma M/(v_{\text{п}}r_{\text{п}})\) ✓. Проверим на круговой орбите
радиуса \(R\): \(\gamma M = v^2R\), и радиус годографа равен
\(v^2R/(vR) = v\) ✓ — конец вектора скорости постоянного модуля \(v\) и правда
ходит по окружности радиуса \(v\). Именно это свойство мы используем в
задачах 2.6.43–2.6.45.
Ответ
\( |d\vec v| = \dfrac{\gamma M\,d\varphi}{v_{\text{п}}r_{\text{п}}} \),
направлено к центру планеты.