С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса \(R\) и скорость \(u\), запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость \(V\). Докажите, что когда зонд и станция видны из центра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину \(V\). На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен \(\alpha\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Момент импульса зонда. Радиальная добавка не меняет «плеча» скорости:
\[ L = uR \quad\text{— и у станции, и у зонда.} \]Одинаковые приращения. По задаче 2.6.42 при повороте радиус-вектора на \(d\varphi\) приращение скорости равно \(\gamma M\,d\varphi/L\) и направлено к центру планеты. У станции и у зонда одно и то же \(L\); если они видны под одним и тем же углом \(\varphi\), то и повороты, и направления «к центру» у них совпадают. Значит
\[ \vec v_{\text{зонд}}(\varphi) - \vec v_{\text{ст}}(\varphi) = \vec v_{\text{зонд}}(0) - \vec v_{\text{ст}}(0) = \vec V \]— разность скоростей остаётся тем же самым постоянным вектором \(\vec V\), направленным вдоль стартового радиуса. Что и требовалось доказать.
Расстояние при угле \(\alpha\). Скорость станции всегда перпендикулярна её радиусу и по модулю равна \(u\). Значит скорость зонда — это \(\vec v_{\text{ст}} + \vec V\). Найдём её проекцию на текущее поперечное направление (перпендикуляр к текущему радиусу):
— от станции: \(u\);
— от \(\vec V\): вектор \(\vec V\) смотрит вдоль стартового радиуса, а текущее поперечное направление повёрнуто относительно него на угол \(90^\circ+\alpha\), поэтому проекция равна \(V\cos(90^\circ+\alpha) = -V\sin\alpha\).
Момент импульса зонда равен \(uR\), и он же равен \(r\) на поперечную составляющую скорости:
\[ r\,(u - V\sin\alpha) = uR \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{R}{1 - \varepsilon\sin\alpha},\qquad \varepsilon = \frac{V}{u}. \]