При какой скорости \(V\) орбита зонда из предыдущей задачи замкнута? Найдите её перицентр и апоцентр. В случае же незамкнутой орбиты найдите предельный угол с направлением от центра планеты к точке старта, который образует скорость зонда при его безграничном удалении от планеты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Замкнутость. Расстояние \(r\) конечно при всех \(\alpha\) тогда и только тогда, когда знаменатель нигде не обращается в нуль, то есть при
\[ \varepsilon = \frac{V}{u} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad V < u. \]Перицентр и апоцентр. Знаменатель \(1-\varepsilon\sin\alpha\) наибольший при \(\sin\alpha = -1\) и наименьший при \(\sin\alpha = +1\):
\[ r_{\text{п}} = \frac{R}{1+\varepsilon} = \frac{Ru}{u+V},\qquad r_{\text{а}} = \frac{R}{1-\varepsilon} = \frac{Ru}{u-V}. \]Заметим: обе крайние точки достигаются при \(\alpha = \pm90^\circ\), то есть большая ось орбиты перпендикулярна стартовому радиусу.
Незамкнутая орбита \((V \ge u)\). Расстояние обращается в бесконечность, когда знаменатель равен нулю:
\[ 1 - \frac{V}{u}\sin\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha_{\text{пр}} = \frac{u}{V},\qquad \alpha_{\text{пр}} = \arcsin\frac{u}{V}. \]Это и есть предельный угол: под таким углом к направлению на точку старта зонд уходит на бесконечность (то есть в эту сторону смотрит асимптота траектории).