Отрезок, соединяющий перицентр и апоцентр эллиптической орбиты, называется большой осью. Относительно неё эллипс симметричен. Отрезок, соединяющий наиболее удалённые от большой оси точки орбиты, называется малой осью. Она перпендикулярна большой оси и тоже является осью симметрии эллипса. Используя условия задачи 2.6.43, найдите скорость зонда в вершинах малой оси. Выразите эту скорость через длину большой полуоси \(a\) и массу планеты \(M\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Из задачи 2.6.44: перицентр и апоцентр отвечают \(\alpha = \pm90^\circ\), значит большая ось перпендикулярна стартовому радиусу, вдоль которого направлен \(\vec V\). Стало быть \(\vec V\) параллелен малой оси.
Скорость на конце малой оси. В вершине малой оси скорость направлена вдоль большой оси (по симметрии), то есть перпендикулярно \(\vec V\). А \(\vec v = \vec v_{\text{ст}} + \vec V\), где \(|\vec v_{\text{ст}}| = u\). Разложение прямоугольное:
\[ V_0^2 + V^2 = u^2 \quad\Longrightarrow\quad V_0 = \sqrt{u^2 - V^2}. \]Через большую полуось. Из задачи 2.6.44
\[ a = \frac{r_{\text{п}}+r_{\text{а}}}{2} = \frac{Ru^2}{u^2-V^2} = \frac{Ru^2}{V_0^2}. \]Для круговой орбиты станции \(u^2 = \gamma M/R\), то есть \(Ru^2 = \gamma M\). Значит
\[ a = \frac{\gamma M}{V_0^2} \quad\Longrightarrow\quad V_0 = \sqrt{\frac{\gamma M}{a}}. \]