Спутник движется вокруг планеты массы \(M\) по эллипсу с большой и малой
полуосями \(a\) и \(b\). Определите площадь, которую радиус-вектор, проведённый
из центра планеты к спутнику, «заметает» в единицу времени. Найдите период
обращения спутника. (Площадь эллипса \(S = \pi ab\).)
К задаче 2.6.46 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Скорость заметания площади постоянна — значит достаточно посчитать её в одной
удобной точке. Самая удобная — вершина малой оси: там мы уже знаем и скорость
(задача 2.6.45), и «плечо».
Скорость заметания. В вершине малой оси скорость \(V_0\) параллельна
большой оси, а расстояние от центра планеты (фокуса) до этой прямой равно
\(b\) — ведь вершина отстоит от большой оси ровно на \(b\). Плечо и есть
\(b\), поэтому (задача 2.6.36)
Проверка. Малая полуось \(b\) сократилась — период
зависит только от большой оси ✓. Это и есть третий закон Кеплера в общем виде:
\(T^2 = 4\pi^2a^3/(\gamma M)\) ✓, причём теперь он доказан не только для
окружностей. Для круговой орбиты \(a = R\) получаем привычное
\(T = 2\pi R/\sqrt{\gamma M/R} = 2\pi R/v\) ✓. Из этой формулы, между прочим,
сразу следуют ответы задач 2.6.47–2.6.49.
Ответ
\( \dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac12\,b\sqrt{\dfrac{\gamma M}{a}} \);
\( T = \dfrac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{\gamma M}} \).