Задача 2.6.47комета Галлея
Условие
Наибольшее расстояние от Солнца до кометы Галлея составляет 35,4 радиуса земной орбиты, а наименьшее — 0,6. Прохождение её вблизи Солнца наблюдалось в 1986 году; в каком году произошло её предыдущее прохождение?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Период зависит только от большой полуоси (задача 2.6.46), а её мы найдём как
полусумму наибольшего и наименьшего расстояний. В «астрономических» единицах
(задача 2.6.15) третий закон Кеплера выглядит просто: \(T^2 = a^3\).
Большая полуось.
\[ a = \frac{r_{\text{а}} + r_{\text{п}}}{2} = \frac{35{,}4 + 0{,}6}{2} = 18 \]радиусов земной орбиты.
Период. В единицах «земной год» и «радиус земной орбиты»
\[ T = a^{3/2} = 18^{3/2} = 18\sqrt{18} \approx 18\cdot 4{,}24 \approx 76\ \text{лет}. \]Предыдущее прохождение.
\[ 1986 - 76 = 1910. \]Проверка. Это исторический факт: комета Галлея
проходила перигелий в 1910 году ✓ (её появление тогда наблюдал весь мир), а
следующее ожидается около 2061 года ✓ \((1986+76)\). Заметим, что расстояние в
перигелии \(0{,}6\) — это внутри орбиты Земли, а в афелии \(35{,}4\) — дальше
Нептуна; эксцентриситет
\(\varepsilon = (35{,}4-0{,}6)/(35{,}4+0{,}6) = 0{,}97\) ✓ — орбита очень
вытянутая.
Ответ
\( T = a^{3/2} = 18^{3/2} \approx 76 \) лет; предыдущее прохождение — в
1910 году.