Спутник, двигавшийся по круговой орбите радиуса \(R_{\text{с}}\), был мгновенно
заторможен и стал двигаться по эллиптической орбите, касающейся начальной орбиты
и поверхности планеты. Определите время падения спутника на планету. Радиус
планеты \(R\), ускорение свободного падения на поверхности \(g\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Падение — это ровно половина оборота по новому эллипсу. А период эллипса
зависит только от большой полуоси (задача 2.6.46), которую здесь легко
найти.
Новый эллипс касается старой орбиты (апоцентр) и поверхности
планеты (перицентр).
Большая полуось. Апоцентр нового эллипса — это точка торможения,
\(r_{\text{а}} = R_{\text{с}}\); перицентр — поверхность планеты,
\(r_{\text{п}} = R\). Значит
\[ a = \frac{R_{\text{с}} + R}{2}. \]
Период и время падения. Из задачи 2.6.46
\(T = 2\pi a^{3/2}/\sqrt{\gamma M}\), а \(\gamma M = gR^2\). Падение занимает
полпериода:
\[ t = \pi\sqrt{\frac{R}{g}}\;
\left[\frac{1 + R_{\text{с}}/R}{2}\right]^{3/2}. \]
Проверка. Если тормозить у самой поверхности
\((R_{\text{с}} = R)\), получается \(t = \pi\sqrt{R/g}\) ✓ — ровно полпериода
низкой круговой орбиты \((T = 2\pi\sqrt{R/g}\), задача 2.6.17\()\), и это
правильно: «эллипс» выродился в ту же окружность. Для МКС
\((R_{\text{с}}/R \approx 1{,}06)\) получаем \(t \approx \pi\sqrt{R/g}\cdot
1{,}05 \approx 44\) мин ✓. А для геостационара \((R_{\text{с}}/R = 6{,}6)\)
падение заняло бы около \(5{,}3\) часа ✓.
Ответ
\( t = \pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}\left[\dfrac{1+R_{\text{с}}/R}{2}\right]^{3/2} \).