Задача 2.6.49★ падение Земли на Солнце
Условие
Определите время падения Земли на Солнце, если её внезапно остановить.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Прямолинейное падение — это предельный случай очень вытянутого эллипса, у
которого перигелий стянут в точку. Его большая полуось равна половине исходного
радиуса, и третий закон Кеплера даёт ответ без всяких вычислений с
интегралами.
Вырожденный эллипс. Афелий равен \(r\) (радиус земной орбиты), перигелий — нулю. Значит
\[ a = \frac{r + 0}{2} = \frac r2. \]Период. По третьему закону Кеплера \(T \propto a^{3/2}\):
\[ T' = T\left(\frac{a}{r}\right)^{3/2} = T\left(\frac12\right)^{3/2} = \frac{T}{2\sqrt2}. \]Падение — половина этого «оборота» (туда и обратно составило бы полный):
\[ t = \frac{T'}{2} = \frac{T}{4\sqrt2} = \frac{365}{5{,}66} \approx 65\ \text{суток}. \]Проверка. Полезная формула для запоминания: время
падения с круговой орбиты равно периоду, делённому на \(4\sqrt2 \approx 5{,}66\)
✓. Прикидка «в лоб»: если бы Земля всё время падала с постоянным ускорением
\(a_0 = 6\cdot10^{-3}\) м/с², то \(t = \sqrt{2r/a_0} =
\sqrt{3\cdot10^{11}/6\cdot10^{-3}} \approx 7\cdot10^{6}\) с \(\approx 81\) сутки
✓ — того же порядка, а точный ответ меньше, потому что у Солнца ускорение
растёт ✓. Конечный размер Солнца тут почти не важен: последние \(0{,}5\,\%\)
пути Земля пролетает за считанные часы.
Ответ
\( t = \dfrac{T}{4\sqrt2} \approx 65 \) суток.