Задача 2.6.50★ булавы богатырей
Условие
Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала через неделю, вторая — через 30 дней. Оцените, на сколько различались их начальные скорости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Булава летит по вырожденному эллипсу с перигеем в центре Земли. Время полёта —
это его период; по нему находим большую полуось, а значит и наибольшую высоту,
а по ней — начальную скорость. Обе скорости окажутся близки ко второй
космической, и разница будет крошечной.
От времени к высоте. Полёт вверх и обратно — это полный «оборот» по вырожденному эллипсу с \(a = r_{\max}/2\):
\[ t = T = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{\gamma M}} \quad\Longrightarrow\quad a = \left(\frac{t\sqrt{\gamma M}}{2\pi}\right)^{2/3},\qquad r_{\max} = 2a. \]С \(\gamma M = gR^2 = 4{,}0\cdot10^{14}\), \(\sqrt{\gamma M} = 2{,}0\cdot10^{7}\):
\[ t_1 = 7\ \text{сут} = 6{,}05\cdot10^{5}\ \text{с} \;\Rightarrow\; a_1 = 1{,}55\cdot10^{8}\ \text{м},\quad r_1 = 3{,}1\cdot10^{8}\ \text{м}, \] \[ t_2 = 30\ \text{сут} = 2{,}59\cdot10^{6}\ \text{с} \;\Rightarrow\; a_2 = 4{,}08\cdot10^{8}\ \text{м},\quad r_2 = 8{,}2\cdot10^{8}\ \text{м}. \]От высоты к скорости. Закон сохранения энергии от поверхности до \(r_{\max}\):
\[ v^2 = 2\gamma M\left(\frac1R - \frac1{r_{\max}}\right). \] \[ v_1^2 = 8{,}0\cdot10^{14}\left(1{,}570\cdot10^{-7} - 3{,}2\cdot10^{-9}\right) = 1{,}226\cdot10^{8},\quad v_1 = 11\,072\ \text{м/с}, \] \[ v_2^2 = 8{,}0\cdot10^{14}\left(1{,}570\cdot10^{-7} - 1{,}2\cdot10^{-9}\right) = 1{,}242\cdot10^{8},\quad v_2 = 11\,144\ \text{м/с}. \] \[ \Delta v = v_2 - v_1 \approx 70\ \text{м/с}. \]Проверка. Обе скорости чуть меньше второй космической
\(11\,200\) м/с ✓ — булавы почти улетают навсегда. Именно поэтому крошечная
разница в скорости (меньше процента!) даёт разницу во времени полёта в четыре
раза ✓ — тот же эффект, что в задачах 2.6.23 и 2.6.25. Оценим иначе:
\(v^2 \approx v_{\text{II}}^2 - 2\gamma M/r_{\max}\), поэтому
\(2v\,\Delta v \approx 2\gamma M(1/r_1 - 1/r_2)
= 8\cdot10^{14}(3{,}2-1{,}2)\cdot10^{-9}/... \) — то же самое \(70\) м/с ✓.
Наконец, замечание к сюжету: булава на самом деле улетела бы за пределы
атмосферы, так что задача — чистая идеализация ✓.
Ответ
\( \Delta v \approx 70\ \text{м/с} \) (обе скорости — около 11,1 км/с).