Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массы \(m\),
которые обращаются вокруг Земли на расстояниях \(R_1\) и \(R_2\) от её центра
так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли \(M\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Связка вращается как одно целое, значит угловая скорость \(\omega\) у обоих
спутников одна и та же. Два уравнения Ньютона (для внутреннего и внешнего) —
их сумма даёт \(\omega\), а разность — натяжение.
Трос радиален, поэтому у обоих спутников общая угловая
скорость.
Два уравнения. Обозначим \(F\) — натяжение. Для внутреннего спутника
трос тянет наружу, для внешнего — внутрь:
\[ \frac{\gamma Mm}{R_1^2} - F = m\omega^2R_1,\qquad
\frac{\gamma Mm}{R_2^2} + F = m\omega^2R_2. \]
\[ F = \frac{\gamma Mm\,(R_2^3 - R_1^3)}{(R_1+R_2)\,R_1^2R_2^2}. \]
Проверка. При \(R_1 = R_2\) получаем \(F = 0\) ✓ —
спутники на одной орбите, трос не нужен. \(F > 0\) при \(R_2>R_1\) ✓ — трос
именно натянут, а не сжат: внутренний спутник «хочет» лететь быстрее, внешний —
медленнее, и трос их удерживает. Прикинем для маленькой разности
\(R_2 = R_1+\ell\), \(\ell \ll R_1\): \(R_2^3-R_1^3 \approx 3R_1^2\ell\), и
\(F \approx 3\gamma Mm\ell/(2R_1^3) = \tfrac32 m\omega^2\ell\) ✓ — знакомая
оценка приливной силы. Это и есть принцип космического троса: тросовая система
длиной 20 км на низкой орбите испытывает натяжение около \(0{,}01\,mg\).
Ответ
\( F = \dfrac{\gamma Mm\,(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2} \).