Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы \(m\) и радиуса \(r\) каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы \(M\). Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты \(R\). С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты \(R_0 \gg r\). Плотность глыб примите равной средней плотности планеты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Центры глыб находятся на расстояниях \(A = R-r\) и \(B = R+r\) от центра планеты; \(\omega\) — общая угловая скорость.
Уравнение для пары (центр масс — как раз на расстоянии \(R\)):
\[ \frac{\gamma Mm}{A^2} + \frac{\gamma Mm}{B^2} = m\omega^2A + m\omega^2B = m\omega^2(A+B) = 2m\omega^2R. \]Уравнение для внутренней глыбы. На неё действуют: притяжение планеты (внутрь), притяжение соседки (наружу) и сила давления \(N\) от соседки (внутрь):
\[ \frac{\gamma Mm}{A^2} - \frac{\gamma m^2}{(2r)^2} + N = m\omega^2A. \]Отсюда
\[ N = \frac{\gamma m^2}{4r^2} + m\omega^2A - \frac{\gamma Mm}{A^2}. \]Подставляем \(\omega^2\) из первого уравнения:
\[ m\omega^2A - \frac{\gamma Mm}{A^2} = \gamma Mm\left[\frac{A}{A+B}\left(\frac1{A^2}+\frac1{B^2}\right) - \frac1{A^2}\right] = \gamma Mm\,\frac{A(A^2+B^2) - (A+B)B^2}{(A+B)A^2B^2}. \]Числитель: \(A^3 + AB^2 - AB^2 - B^3 = A^3 - B^3\), а
\[ B^3 - A^3 = (R+r)^3-(R-r)^3 = 2\left(3R^2r + r^3\right),\qquad A+B = 2R,\qquad A^2B^2 = (R^2-r^2)^2. \]Значит
\[ N = \frac{\gamma m^2}{4r^2} - \frac{\gamma Mm\left(3R^2r + r^3\right)}{R\left(R^2-r^2\right)^2}. \]Когда глыбы разойдутся. Полагаем \(N = 0\) и учитываем \(r \ll R\):
\[ \frac{\gamma m^2}{4r^2} = \frac{\gamma Mm\cdot 3R^2r}{R\cdot R^4} = \frac{3\gamma Mm\,r}{R^3} \quad\Longrightarrow\quad R^3 = \frac{12M r^3}{m}. \]Плотности одинаковы, поэтому \(M/m = R_0^3/r^3\), и
\[ R^3 = 12R_0^3 \quad\Longrightarrow\quad R = \sqrt[3]{12}\;R_0 \approx 2{,}3\,R_0. \]