Известный физик Ф. Дайсон высказал предположение, что можно было бы полностью использовать энергию звёзд, если бы космические цивилизации могли окружить звёзды сферическими оболочками. Найдите напряжение в материале неподвижной однородной оболочки, которая окружила бы в соответствии с этим предположением Солнце, при её радиусе, равном радиусу земной орбиты. Плотность материала оболочки \(\rho = 4\cdot10^{3}\) кг/м³.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила тяготения на половинку. Пусть \(h\) — толщина оболочки, \(r\) — её радиус. На каждый квадратный метр действует сила
\[ f = \rho h\,\frac{\gamma M_{\odot}}{r^2}, \]направленная к центру. Складывая эти силы по половинке, надо брать только проекции на ось симметрии, а сумма проекций равна \(f\) на площадь проекции половинки, то есть на площадь круга:
\[ F = f\cdot\pi r^2 = \rho h\,\gamma M_{\odot}\,\pi. \]Что удерживает. Разрез — окружность длины \(2\pi r\), площадь сечения материала \(2\pi r h\). Если напряжение равно \(\sigma\), удерживающая сила
\[ T = \sigma\cdot 2\pi r h. \]Равновесие.
\[ \sigma\cdot 2\pi rh = \pi\rho h\,\gamma M_{\odot} \quad\Longrightarrow\quad \sigma = \frac{\rho\,\gamma M_{\odot}}{2r}. \]Толщина сократилась — утолщать оболочку бесполезно. Числа \((\gamma M_{\odot} = 1{,}33\cdot10^{20}\), \(r = 1{,}5\cdot10^{11}\) м\()\):
\[ \sigma = \frac{4\cdot10^{3}\cdot 1{,}33\cdot10^{20}}{2\cdot1{,}5\cdot10^{11}} \approx 1{,}8\cdot10^{12}\ \text{Па}. \]