Задача 2.7.1подобные маховики
Условие
Два подобных маховика изготовлены из одного металла, причём линейные размеры второго вдвое больше линейных размеров первого. Как относятся кинетические энергии маховиков при одной и той же угловой скорости вращения вокруг оси?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Кинетическая энергия вращения складывается из \(\frac12\Delta m\,v^2\) по всем
кусочкам, а \(v = \omega r\). При увеличении размеров в \(k\) раз масса растёт
как \(k^3\), а расстояния до оси — как \(k\).
Разобьём маховик на маленькие кусочки массы \(\Delta m_i\) на расстояниях \(r_i\) от оси. Каждый движется со скоростью \(v_i = \omega r_i\), значит
\[ K = \sum \frac{\Delta m_i\,v_i^2}{2} = \frac{\omega^2}{2}\sum \Delta m_i r_i^2. \]При увеличении всех размеров в \(k = 2\) раза каждое \(r_i\) растёт в \(k\) раз, а каждая масса \(\Delta m_i = \rho\,\Delta V_i\) — в \(k^3\) раз (металл тот же, плотность та же). Значит сумма растёт в \(k^3\cdot k^2 = k^5\) раз:
\[ \frac{K_2}{K_1} = k^5 = 2^5 = 32. \]Проверка. Величина \(J = \sum\Delta m_i r_i^2\)
называется моментом инерции (задача 2.7.5), и мы фактически показали, что
\(J \propto k^5\) ✓. Тот же результат другим путём: \(J \propto mR^2\), масса
выросла в 8 раз, \(R^2\) — в 4 раза, итого 32 ✓. Полезно почувствовать масштаб:
вдвое больший маховик при той же угловой скорости запасает энергии в 32 раза
больше — поэтому в маховичных накопителях так важен размер.
Ответ
\( K_2/K_1 = 32 \).