Задача 2.7.2кольцо и диск
Условие
Определите кинетическую энергию тонкого кольца радиуса \(R\) и массы \(m\), раскрученного до угловой скорости \(\omega\) вокруг его оси. Больше или меньше эта энергия в случае сплошного диска того же радиуса и массы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
У кольца вся масса на одном и том же расстоянии \(R\) от оси, поэтому все
точки движутся с одинаковой скоростью \(\omega R\). У диска же часть вещества
ближе к оси и движется медленнее.
Кольцо. Все точки имеют скорость \(v = \omega R\), значит
\[ K = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2R^2}{2}. \]Диск. Разобьём его на тонкие кольца радиусов \(r_i \le R\). Кусочек массы \(\Delta m_i\) движется со скоростью \(\omega r_i < \omega R\), поэтому
\[ K_{\text{диск}} = \frac{\omega^2}{2}\sum\Delta m_i r_i^2 < \frac{\omega^2}{2}\,R^2\sum\Delta m_i = \frac{m\omega^2R^2}{2}. \]Значит у диска энергия меньше — при той же массе и том же радиусе.
Проверка. Точный подсчёт даёт \(J_{\text{диск}} =
mR^2/2\), то есть ровно вдвое меньше ✓ (эта величина пригодится в задаче 2.7.7).
Оценка «на глаз» тоже сходится: «средний квадрат радиуса» у диска равен
\(R^2/2\), потому что вещества больше на периферии, но не настолько, чтобы
догнать кольцо ✓. Практический вывод: чтобы маховик запасал больше энергии,
массу надо выносить к ободу — так и делают ✓.
Ответ
\( K = \dfrac{mR^2\omega^2}{2} \); у диска энергия меньше (вдвое).