Задача 2.7.3момент силы трения
Условие
Маховик в виде кольца массы \(m\) и радиуса \(R\) с невесомыми спицами раскрутили до угловой скорости \(\omega\). Из-за трения он остановился. Найдите момент силы трения, если маховик остановился через время \(t\); если маховик до полной остановки сделал \(N\) оборотов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Два разных «языка» для одной и той же задачи: через время удобнее говорить об
угловом ускорении, через число оборотов — о работе. Оба соотношения даёт задача
2.7.8: \(\varepsilon = M/J\) и \(A = M\varphi\).
Момент инерции кольца \(J = mR^2\) (вся масса на радиусе \(R\)).
Если известно время. Угловое ускорение постоянно и равно \(\varepsilon = \omega/t\), значит
\[ M = J\varepsilon = \frac{mR^2\omega}{t}. \]Если известно число оборотов. Работа момента трения равна всей кинетической энергии, а угол поворота \(\varphi = 2\pi N\):
\[ M\cdot 2\pi N = \frac{J\omega^2}{2} = \frac{mR^2\omega^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{mR^2\omega^2}{4\pi N}. \]Проверка. Оба ответа согласованы: при равнозамедленном
вращении \(\varphi = \omega t/2\), то есть \(2\pi N = \omega t/2\). Подставив это
во второй ответ, получаем \(M = mR^2\omega^2/(2\omega t) = mR^2\omega/t\) ✓ —
совпало с первым. Размерности: \([mR^2\omega/t] = \text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2
= \text{Н}\cdot\text{м}\) ✓.
Ответ
\( M = \dfrac{mR^2\omega}{t} \); \( M = \dfrac{mR^2\omega^2}{4\pi N} \).