Тонкий обруч радиуса \(R\) раскрутили вокруг его оси до угловой скорости
\(\omega\) и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч
остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен \(\mu\)?
Сколько оборотов сделает обруч до полной остановки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Обруч лежит плашмя, значит все его точки трутся о стол на одном и том же
расстоянии \(R\) от оси. Поэтому момент трения считается совсем просто:
полная сила трения \(\mu mg\), плечо \(R\).
Все точки обода — на одном радиусе \(R\), поэтому момент трения
равен \(\mu m g R\).
Момент трения. Каждый кусочек обода прижат с силой \(\Delta N_i\) и
испытывает трение \(\mu\Delta N_i\) с плечом \(R\). Суммируя:
\[ M = \sum \mu\,\Delta N_i\,R = \mu R\sum\Delta N_i = \mu m g R. \]
Время. Момент инерции \(J = mR^2\), угловое ускорение
\[ \varepsilon = \frac{M}{J} = \frac{\mu m g R}{mR^2} = \frac{\mu g}{R}, \]
\[ t = \frac{\omega}{\varepsilon} = \frac{\omega R}{\mu g}. \]
Число оборотов. Из работы момента трения:
\[ \mu m g R\cdot 2\pi n = \frac{mR^2\omega^2}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
n = \frac{\omega^2R}{4\pi\mu g}. \]
Проверка. Проверим согласованность:
\(\varphi = \omega t/2 = \omega^2R/(2\mu g)\), а \(2\pi n\) даёт то же самое ✓.
Заметим, что \(\varepsilon = \mu g/R\) — это в точности «линейное» замедление
\(\mu g\), делённое на радиус ✓: каждая точка обода тормозится так же, как
брусок, скользящий по столу. Поэтому и время \(t = v_0/(\mu g)\), где
\(v_0 = \omega R\) — начальная скорость точек обода ✓. Ответ не зависит от
массы ✓ — как и всегда, когда всё определяется трением.
Ответ
\( t = \dfrac{\omega R}{\mu g} \); \( n = \dfrac{\omega^2 R}{4\pi\mu g} \).