Задача 2.7.5★ момент инерции гантели
Условие
Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг оси, пропорциональна квадрату угловой скорости: \(K = J\omega^2/2\). Коэффициент \(J\) называется моментом инерции относительно данной оси. Найдите момент инерции для гантели, представляющей собой точечные массы \(m_1\) и \(m_2\) на концах лёгкого стержня, если ось её вращения перпендикулярна стержню и находится на расстоянии \(r_1\) и \(r_2\) от точечных масс.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Просто сложить кинетические энергии обеих точек и вынести \(\omega^2/2\) за
скобку — то, что останется в скобке, и есть \(J\).
Точки движутся по окружностям радиусов \(r_1\) и \(r_2\) с одной и той же угловой скоростью, значит их скорости \(v_1 = \omega r_1\) и \(v_2 = \omega r_2\):
\[ K = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{\omega^2}{2}\left(m_1r_1^2 + m_2r_2^2\right). \]Сравнивая с \(K = J\omega^2/2\), получаем
\[ J = m_1r_1^2 + m_2r_2^2. \]Проверка. Формула сразу обобщается: для любого тела
\(J = \sum \Delta m_i r_i^2\) — именно это мы и использовали в задачах
2.7.1 и 2.7.2 ✓. Проверим известные случаи: кольцо (вся масса на радиусе \(R\))
даёт \(J = mR^2\) ✓; если ось проходит через одну из масс \((r_1 = 0)\), то
\(J = m_2r_2^2\) ✓ — вторая масса «не чувствует» первую. Момент инерции
зависит не только от тела, но и от выбора оси ✓.
Ответ
\( J = m_1r_1^2 + m_2r_2^2 \).