Тонкостенный цилиндр радиуса \(R\) раскрутили до угловой скорости \(\omega\)
и поставили в угол. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен
\(\mu\). Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Цилиндр никуда не едет, значит силы уравновешены — из этого найдём обе
нормальные реакции. Они «подпирают» друг друга: трение о пол прижимает цилиндр
к стенке, а трение о стенку разгружает пол.
Трение о пол прижимает цилиндр к стенке, трение о стенку
поддерживает его снизу.
Равновесие центра. Цилиндр вращается, но не движется поступательно.
По горизонтали и по вертикали:
Число оборотов. Момент инерции тонкостенного цилиндра \(J = mR^2\),
и работа момента трения равна кинетической энергии:
\[ \frac{\mu mgR(1+\mu)}{1+\mu^2}\cdot 2\pi n = \frac{mR^2\omega^2}{2}, \]
\[ n = \frac{\omega^2R\,(1+\mu^2)}{4\pi g\,\mu\,(1+\mu)}. \]
Проверка. Если стенку убрать \((N_2 = 0)\), формулы
дали бы \(N_1 = mg\) и \(n = \omega^2R/(4\pi\mu g)\) — в точности задача 2.7.4 ✓.
Наличие второй стенки увеличивает трение (множитель
\((1+\mu)/(1+\mu^2) > 1\) при \(\mu < 1\)), поэтому оборотов получается меньше ✓.
При очень большом \(\mu\) множитель \((1+\mu^2)/[\mu(1+\mu)]\) стремится к
единице, то есть \(n \to \omega^2R/(4\pi g)\) — столько же, сколько было бы и
без стенки ✓; а наименьшее число оборотов получается при
\(\mu = 1+\sqrt2 \approx 2{,}4\).
Ответ не зависит от массы ✓.
Ответ
\( n = \dfrac{\omega^2R\,(1+\mu^2)}{4\pi g\mu\,(1+\mu)} \).