Задача 2.7.7сплошной цилиндр в углу
Условие
Решите задачу 2.7.6 в случае, если в угол поставили раскрученный сплошной однородный цилиндр. Момент инерции такого цилиндра \(J = mR^2/2\), где \(m\) — его масса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Силы и момент трения остались теми же — они зависят только от веса и трения, а
не от того, как масса распределена внутри. Изменилась только запасённая энергия:
её вдвое меньше.
Расстановка сил и момент трения — как в задаче 2.7.6:
\[ M = \frac{\mu mgR(1+\mu)}{1+\mu^2}. \]Кинетическая энергия теперь вдвое меньше:
\[ K = \frac{J\omega^2}{2} = \frac{mR^2\omega^2}{4}. \]Значит и оборотов будет вдвое меньше:
\[ \frac{\mu mgR(1+\mu)}{1+\mu^2}\cdot 2\pi n = \frac{mR^2\omega^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{\omega^2R\,(1+\mu^2)}{8\pi g\mu\,(1+\mu)}. \]Проверка. Ровно половина ответа задачи 2.7.6 ✓ — как и
должно быть, ведь тормозящий момент тот же, а энергии вдвое меньше. Обратите
внимание: при одинаковой угловой скорости сплошной цилиндр остановится и
быстрее по времени — вдвое, поскольку \(\varepsilon = M/J\) вдвое больше ✓.
Ответ
\( n = \dfrac{\omega^2R\,(1+\mu^2)}{8\pi g\mu\,(1+\mu)} \) — вдвое меньше, чем
у тонкостенного.