Момент сил, действующих на твёрдое тело относительно его оси вращения, равен \(M\). Докажите, что работа этих сил равна \(M\varphi\), а угловое ускорение тела равно \(M/J\), где \(\varphi\) — угол поворота тела, а \(J\) — момент инерции тела относительно оси вращения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Работа. Пусть к телу приложены силы \(\vec F_i\) в точках на расстояниях \(r_i\) от оси. При повороте на малый угол \(\Delta\varphi\) точка приложения смещается на \(r_i\Delta\varphi\) вдоль окружности, поэтому работу совершает только касательная составляющая \(F_{i\tau}\):
\[ \Delta A = \sum F_{i\tau}\,r_i\,\Delta\varphi = \left(\sum F_{i\tau}r_i\right)\Delta\varphi = M\,\Delta\varphi. \]Складывая по всем малым поворотам (при постоянном \(M\)):
\[ A = M\varphi. \]Угловое ускорение. По теореме о кинетической энергии
\[ M\varphi = \frac{J\omega^2}{2} - \frac{J\omega_0^2}{2}. \]При постоянном \(M\) угловое ускорение \(\varepsilon\) постоянно, и для равнопеременного вращения справедливо \(\omega^2 = \omega_0^2 + 2\varepsilon\varphi\). Подставляя,
\[ M\varphi = \frac{J}{2}\cdot 2\varepsilon\varphi = J\varepsilon\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = \frac{M}{J}. \]