Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.9

Задача 2.7.9★ блок с двумя грузами

Условие

Определите угловое ускорение блока радиуса \(R\) с моментом инерции \(J\), вызванное двумя грузами массы \(m_1\) и \(m_2\), закреплёнными на концах нити, перекинутой через блок, если нить не проскальзывает по блоку.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Раз блок имеет момент инерции, натяжения по обе стороны разные — именно их разность и раскручивает блок. Пишем три уравнения: два «поступательных» для грузов и одно «вращательное» для блока.

Нить не скользит, поэтому \(a = \varepsilon R\).

Связь. Нить нерастяжима и не проскальзывает, значит грузы движутся с одинаковым по модулю ускорением \(a\), и точки обода блока — тоже:

\[ a = \varepsilon R. \]

Уравнения. Пусть \(m_1 > m_2\), первый груз опускается:

\[ m_1g - T_1 = m_1a,\qquad T_2 - m_2g = m_2a,\qquad (T_1-T_2)R = J\varepsilon = \frac{Ja}{R}. \]

Складываем все три (натяжения уходят):

\[ (m_1-m_2)g = (m_1+m_2)a + \frac{Ja}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{(m_1-m_2)gR^2}{J + (m_1+m_2)R^2}, \] \[ \varepsilon = \frac{a}{R} = \frac{|m_1-m_2|\,gR}{J + m_1R^2 + m_2R^2}. \]

Проверка. При \(J = 0\) (невесомый блок) получается школьная машина Атвуда: \(a = (m_1-m_2)g/(m_1+m_2)\) ✓. При \(m_1 = m_2\) ускорение равно нулю ✓. Момент инерции входит в знаменатель как «добавочная масса» \(J/R^2\) ✓ — блок сопротивляется разгону ровно так, как груз массы \(J/R^2\), подвешенный к ободу. Если \(J\) очень велико, \(\varepsilon\to0\) ✓.

Ответ \( \varepsilon = \dfrac{|m_1-m_2|\,gR}{J + m_1R^2 + m_2R^2} \).

Следующая задача 2.7.10 →