Некоторые планеты Солнечной системы имеют орбиту, близкую к круговой, с центром в Солнце, причём обращаются они вокруг Солнца почти равномерно. Как направлено ускорение этих планет? Как оно зависит от расстояния между ними и Солнцем, если установлено, что квадрат периода обращения планет пропорционален кубу радиуса их орбиты? (Представьте себе, что вы ещё не знаете закона всемирного тяготения.)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Направление. При равномерном движении по окружности скорость по модулю не меняется, значит ускорение перпендикулярно скорости и направлено к центру окружности — то есть прямо на Солнце.
Величина. Центростремительное ускорение
\[ a = \frac{v^2}{R} = \omega^2R = \frac{4\pi^2R}{T^2}. \]Подставляем третий закон Кеплера \(T^2 = CR^3\) (\(C\) — одна и та же постоянная для всех планет):
\[ a = \frac{4\pi^2R}{CR^3} = \frac{4\pi^2}{C}\cdot\frac{1}{R^2} = \frac{K}{R^2},\qquad K = \frac{4\pi^2}{C}. \]Итак, из одних только наблюдений Кеплера следует: ускорение планет направлено к Солнцу и убывает обратно пропорционально квадрату расстояния — с одним и тем же коэффициентом \(K\) для всех планет. Это и есть тот шаг, который сделал Ньютон.