Задача 2.6.3где тяжесть 81 % от земной
Условие
При сферически симметричном распределении массы шар притягивает тела, находящиеся вне его, так, будто вся его масса сосредоточена в его центре. На какой высоте над Землёй сила тяжести составляет 81 % от её значения на поверхности Земли?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила убывает как \(1/r^2\), а \(0{,}81 = 0{,}9^2\) — значит расстояние от
центра Земли выросло ровно в \(1/0{,}9\) раза.
Сила тяжести на расстоянии \(r\) от центра Земли:
\[ F(r) = \frac{\gamma Mm}{r^2},\qquad \frac{F(R+h)}{F(R)} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^{\!2} = 0{,}81. \]Извлекаем корень (обе величины положительны):
\[ \frac{R}{R+h} = 0{,}9 \quad\Longrightarrow\quad R + h = \frac{R}{0{,}9} \quad\Longrightarrow\quad h = R\left(\frac{1}{0{,}9}-1\right) = \frac{R}{9}. \]Численно, при \(R = 6370\) км:
\[ h = \frac{6370}{9} \approx 710\ \text{км}. \]Проверка. Прикидка «в лоб»: на такой высоте
\(r/R = 10/9 \approx 1{,}11\), квадрат \(1{,}23\), и \(1/1{,}23 = 0{,}81\) ✓.
Заметим, что это высота типичной низкой околоземной орбиты — и там сила
тяжести всего на 19 % меньше, чем на поверхности. Так что невесомость на МКС
(высота около 400 км) объясняется вовсе не «отсутствием тяготения», а
свободным падением по орбите ✓ — ср. задачу 2.6.1.
Ответ
\( h = R/9 \approx 700\ \text{км} \).