Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера

Савченко, задача 2.6.4

Задача 2.6.4проверка Ньютона на Луне

Условие

Ускорение Луны можно найти исходя из кинематических соображений, зная, что средний радиус её орбиты 385 000 км, а период её обращения вокруг Земли 27,3 сут. Сравните полученное таким образом значение ускорения с ускорением, создаваемым на лунной орбите земным тяготением. Радиус Земли 6370 км, ускорение свободного падения на её поверхности 9,8 м/с².

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Два независимых пути к одному числу: слева — чистая кинематика окружности, справа — закон обратных квадратов, «продолженный» с поверхности Земли до Луны. Именно это сравнение и было главным аргументом Ньютона.

Луна на орбите радиуса \(R\) с периодом \(T\).

Кинематика. Считая орбиту круговой и движение равномерным,

\[ a_{\text{кин}} = \frac{4\pi^2R}{T^2}. \]

Здесь \(R = 3{,}85\cdot10^8\) м, а \(T = 27{,}3\cdot 24\cdot 3600 \approx 2{,}36\cdot10^6\) с, поэтому

\[ a_{\text{кин}} = \frac{4\pi^2\cdot 3{,}85\cdot10^{8}}{(2{,}36\cdot10^{6})^2} \approx \frac{1{,}52\cdot10^{10}}{5{,}56\cdot10^{12}} \approx 2{,}73\cdot10^{-3}\ \text{м/с}^2. \]

Тяготение. У поверхности Земли ускорение равно \(g\), а с расстоянием оно убывает как \(1/r^2\):

\[ a_{\text{тяг}} = g\left(\frac{R_{\text{З}}}{R}\right)^{\!2} = 9{,}8\cdot\left(\frac{6{,}37\cdot10^{6}}{3{,}85\cdot10^{8}}\right)^{\!2} = 9{,}8\cdot(1{,}65\cdot10^{-2})^2 \approx 2{,}68\cdot10^{-3}\ \text{м/с}^2. \]

Сравнение.

\[ \frac{a_{\text{кин}}}{a_{\text{тяг}}} \approx \frac{2{,}73}{2{,}68} \approx 1{,}02, \]

то есть числа совпадают с точностью около 2 % — в пределах точности исходных данных.

Проверка. Расхождение объяснимо: орбита Луны заметно эллиптична (расстояние меняется примерно на \(\pm 5\,\%\)), а кроме того Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс, который лежит внутри Земли, но не в её центре ✓. Полезно оценить и «на пальцах»: Луна дальше от центра Земли примерно в 60 раз, значит ускорение меньше в \(60^2 = 3600\) раз: \(9{,}8/3600 \approx 2{,}7\cdot10^{-3}\) м/с² ✓ — то самое число.

Ответ \( a_{\text{кин}} \approx 2{,}7\cdot10^{-3}\ \text{м/с}^2 \) и \( a_{\text{тяг}} \approx 2{,}7\cdot10^{-3}\ \text{м/с}^2 \) — совпадают с точностью до пары процентов.

Следующая задача 2.6.5 →